5593. На гипотенузу AB
прямоугольного треугольника ABC
опустили высоту CH
. Из точки H
на катеты опустили перпендикуляры HK
и HE
.
а) Докажите, что точки A
, B
, K
и E
лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если AB=12
, CH=5
.
Ответ. \frac{13}{2}
.
Указание. а) Примените признак вписанного четырёхугольника (см. задачу 49).
б) Прямоугольный треугольник ECK
подобен прямоугольному треугольнику ACB
по двум углам.
Решение. Первый способ. а) Предположим для определённости, что точка E
лежит на катете BC
, а точка K
— на катете AC
. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда
\angle HKE=\angle HCE=\angle BAC=\alpha,
\angle AKE=\angle AKH+\angle HKE=90^{\circ}+\alpha,
а так как \angle ABC=90^{\circ}-\alpha
, то
\angle AKE+\angle ABE=\angle AKE+\angle ABC=90^{\circ}+\alpha+90^{\circ}-\alpha=180^{\circ}.
Значит, четырёхугольник ABEK
— вписанный. Следовательно, точки A
, B
, K
и E
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
б) Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, CH=h
. Тогда \sin\alpha=\frac{a}{c}
Поскольку \angle CEK=\angle CHK=\alpha
, прямоугольный треугольник ECK
подобен прямоугольному треугольнику ACB
по двум углам. Поэтому \frac{CK}{BC}=\frac{KE}{AB}
, а так как CKHE
прямоугольник, то KE=CH
, значит,
CK=\frac{KE\cdot BC}{AB}=\frac{CH\cdot BC}{AB}=\frac{ah}{c},
BK=\sqrt{CK^{2}+BC^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}h^{2}}{c^{2}}+a^{2}}=\frac{a\sqrt{h^{2}+c^{2}}}{c}.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABEK
. По теореме синусов из треугольника ABK
находим, что
R=\frac{BK}{2\sin\angle BAK}=\frac{\frac{a\sqrt{h^{2}+c^{2}}}{c}}{2\cdot\frac{a}{c}}=\frac{\sqrt{h^{2}+c^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}{2}=\frac{13}{2}.
Второй способ. б) Пусть P
, Q
и M
— середины сторон соответственно AK
, BE
и AB
четырёхугольника ABEK
. Центр O
окружности радиуса R
, описанной около четырёхугольника ABEK
, есть точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам AK
, BE
и AB
этого четырёхугольника.
Пусть L
и N
— точки пересечения отрезков OP
и OQ
с гипотенузой AB
. Тогда PL
и QN
— средние линии треугольников AKH
и BEH
, значит, L
и N
— середины отрезков AH
и BH
. Поэтому
LN=LH+HN=\frac{1}{2}AH+\frac{1}{2}BH=\frac{1}{2}AB=6.
Следовательно, прямоугольный треугольник NLO
подобен прямоугольному треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{1}{2}
. Тогда высота OM
треугольника NLO
вдвое меньше высоты CH
треугольника ABC
, т. е. OM=\frac{5}{2}
.
Из прямоугольного треугольника AOM
находим, что
R=\sqrt{AM^{2}+OM^{2}}=\sqrt{36+\frac{25}{4}}=\frac{13}{2}.
Третий способ. б) Пусть луч KH
пересекает окружность, описанную около четырёхугольника ABEK
, в точке G
. Тогда отрезок AG
виден из точки K
, лежащей на окружности, под прямым углом, значит, AG
— диаметр этой окружности. Тогда \angle ABG=90^{\circ}
. Кроме того, KG\parallel BE
, поэтому BEKG
— равнобедренная трапеция, поэтому BG=EK=CH=5
, а так как треугольник ABG
прямоугольный, то
AG=\sqrt{AB^{2}+BG^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13.
Следовательно, радиус окружности равен \frac{13}{2}
.