5595. В треугольнике ABC
точка M
— середина стороны AB
, а точка D
— основание высоты CD
. Докажите, что \angle A=2\angle B
тогда и только тогда, когда AC=2MD
.
Указание. Проведите медиану DK
прямоугольного треугольника ADC
.
Решение. Пусть AC\lt BC
. Тогда точка D
лежит между A
и M
. Отметим середину K
стороны AC
. Тогда DK
— медиана прямоугольного треугольника ADC
, поэтому AK=KD
и \angle ADK=\angle A
(см. задачу 1109).
С другой стороны, MK
— средняя линия треугольника ABC
, следовательно, \angle DMK=\angle B
. Применяя к треугольнику DMK
теорему о внешнем угле, получаем, что равенства KD=DM
и \angle KDA=2\angle KMD
равносильны.