5601. На гипотенузе прямоугольного треугольника как на стороне построен квадрат вне треугольника.
а) Докажите, что центр квадрата и центр окружности, вписанной в треугольник, лежат на прямой, проходящей через вершину прямого угла треугольника.
б) Найдите расстояние от центра квадрата до центра окружности, вписанной в треугольник, если радиус этой окружности равен 2, а сторона квадрата равна 10.
Ответ. 5\sqrt{2}
.
Указание. Центр квадрата и центр вписанной окружности лежат на биссектрисе прямого угла треугольника.
Расстояние от вершины прямого угла прямоугольного треугольника с катетами a
и b
до центра квадрата, построенного вне треугольника на его гипотенузе, равен \frac{a+b}{\sqrt{2}}
(см. задачу 1366).
Решение. а) Пусть I
— центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
, O
— центр квадрата APQB
, о котором говорится в условии.
Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому
\angle AOB=\angle ACB=90^{\circ}.
Из точек O
и C
отрезок AB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
. Вписанные в эту окружность углы ACO
и BCO
опираются на одну и ту же хорду, поэтому они равны. Следовательно, CO
— биссектриса угла ACB
, а так как центр вписанной окружности треугольника лежит на той же биссектрисе, то прямая OI
проходит через точку C
.
б) Пусть вписанная в треугольник ABC
окружность касается его сторон AC
, BC
и AB
в точках K
, L
и M
соответственно. Тогда CKIL
— квадрат, CL=CK=IL=2
. Обозначим AK=x
. Тогда
AM=CK=x,~BL=BM=AB-AM=10-x,
AC=2+x,~BC=BL+CL=12-x.
По теореме Пифагора AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}
, или
(x+2)^{2}+(12-x)^{2}=100.
Из этого уравнения находим, что x=6
или x=4
.
Пусть x=6
. Тогда AC=8
, BC=6
. Расстояние от вершины прямого угла прямоугольного треугольника с катетами a
и b
до центра квадрата, построенного вне треугольника на его гипотенузе, равен \frac{a+b}{\sqrt{2}}
(см. задачу 1366), поэтому
CO=\frac{6+8}{\sqrt{2}}=7\sqrt{2}.
Из прямоугольного треугольника CKI
находим, что CI=2\sqrt{2}
. Следовательно,
OI=OC-CI=7\sqrt{2}-2\sqrt{2}=5\sqrt{2}.
Если x=4
, то AC=6
и BC=8
, и получаем тот же результат.