5603. Высоты AP
и CQ
остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
.
а) Докажите, что \tg\angle ABC=\frac{AC}{BH}
.
б) Радиусы окружностей, описанных около треугольников PBQ
и APC
равны 6 и 8 соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
.
Ответ. 10.
Указание. См. задачу 1257.
Решение. а) Обозначим \angle ABC=\beta
. Пусть M
— проекция центра O
описанной окружности на сторону AC
. Тогда M
— середина AC
,
\angle AOM=\frac{1}{2}\angle AOC=\angle ABC=\beta,
а так как OM=\frac{1}{2}BH
(см. задачу 1257), то
\frac{AC}{BH}=\frac{2AM}{2OM}=\frac{AM}{OM}=\tg\angle AOM=\tg\beta.
б) Из точек P
и Q
отрезок BH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BH
, т. е. на описанной окружности радиуса R_{1}=6
треугольника PBQ
. Поэтому BH=2R_{1}=12
. Аналогично точки P
и Q
лежат на описанной окружности радиуса R_{1}=8
треугольника APC
, поэтому AC=2R_{2}=12
.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
. Из прямоугольного треугольника AMO
находим, что
R=OA=\sqrt{OM^{2}+AM^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 15.22.2, с. 161