5607. В остроугольном треугольнике ABC
провели высоту BH
. Из точки H
на стороны AB
и BC
опустили перпендикуляры HK
и HM
соответственно.
а) Докажите, что треугольник MBK
подобен треугольнику ABC
.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK
к площади четырёхугольника AKMC
, если BH=2
, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, равен 4.
Ответ. 1:15
.
Указание. См задачу 997.
Решение. а) Из точек K
и M
отрезок BH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BH
. Вписанные в эту окружность углы BHK
и BMK
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle BMK=\angle BHK=90^{\circ}-\angle ABH=\angle BAC.
Следовательно, треугольники MBK
и ABC
подобны по двум углам (угол при вершине B
— общий).
б) Пусть радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, равен R
. Отношение диаметров описанных окружностей подобных треугольников равно коэффициенту подобия, поэтому коэффициент подобия треугольников MBK
и ABC
равен \frac{BH}{2R}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}
. Значит, отношение площадей этих треугольников равно \left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}
. Следовательно, отношение площади треугольника MBK
к площади четырёхугольника AKMC
равно \frac{1}{15}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014, задача C4
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 4, с. 180