5608. Высоты BB_{1}
и CC_{1}
остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
.
а) Докажите, что \angle AHB_{1}=\angle ACB
.
б) Найдите BC
, если AH=21
и \angle BAC=30^{\circ}
.
Ответ. 7\sqrt{3}
.
Указание. См. задачу 19.
Решение. а) Высоты треугольника пересекаются в одной точке, поэтому точка H
лежит на высоте, проведённой из вершины A
. Значит, AH\perp CB
, а так как HB_{1}\perp CA
, то углы AHB_{1}
и ACB
равны как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами.
б) Из точек B_{1}
и C_{1}
отрезок AH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AH
. По теореме синусов
B_{1}C_{1}=AH\sin\angle B_{1}AC_{1}=21\sin30^{\circ}=\frac{21}{2}.
Треугольник AB_{1}C_{1}
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \cos\angle BAC=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}
(см. задачу 19). Следовательно,
BC=\frac{B_{1}C_{1}}{\cos\angle BAC}=\frac{2B_{1}C_{1}}{\sqrt{3}}=\frac{21}{\sqrt{3}}=7\sqrt{3}.