5626. Высоты, проведённые из вершин A
, B
и C
треугольника ABC
, равны \frac{6}{\sqrt{5}}
, 3 и 6 соответственно.
а) Докажите, что треугольник прямоугольный.
б) Найдите длину биссектрисы треугольника, проведённой из вершины A
.
Ответ. 2\sqrt{2}
.
Указание. Произведение стороны треугольника на проведённую к ней высоту для данного треугольника постоянно.
Решение. а) Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
(рис. 1). Поскольку площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведённую к ней высоту, то
a\cdot\frac{6}{\sqrt{5}}=b\cdot3=c\cdot6,
откуда b=\frac{2a}{\sqrt{5}}
и c=\frac{a}{\sqrt{5}}
. Тогда
b^{2}+c^{2}=\frac{4a^{2}}{5}+\frac{a^{2}}{5}=a^{2}.
Следовательно, треугольник ABC
прямоугольный (с прямым углом при вершине A
).
б) Пусть AH
и AL
— соответственно высота и биссектриса треугольника ABC
, проведённые из вершины прямого угла. Из равенства BC\cdot AH=AB\cdot AC
, или a\cdot\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{2a^{2}}{5}
находим, что a=3\sqrt{5}
. Значит,
AB=c=\frac{a}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=3,~AC=b=\frac{2a}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=6.
По формуле для биссектрисы треугольника (см. задачу 4021)
AL=\frac{2AB\cdot AC\cos\frac{\angle BAC}{2}}{AB+AC}=\frac{2\cdot3\cdot6\cos45^{\circ}}{3+6}=2\sqrt{2}.