5631. Трапеция, одно основание которой в 5 раз больше другого, такова, что в неё можно вписать окружность и вокруг неё можно описать окружность.
а) Докажите, что центр описанной около трапеции окружности расположен вне трапеции.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если меньшее основание равно \sqrt{70}
.
Ответ. 21.
Решение. а) Пусть BC=a
и AD=5a
— основания трапеции ABCD
. Поскольку около трапеции можно описать окружность, она равнобедренная, а так как в трапецию можно вписать окружность, то её боковые стороны AB
и CD
равны \frac{BC+AD}{2}=3a
.
Опустим перпендикуляр CH
из вершины C
на большее основание AD
. Тогда
DH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{5a-a}{2}=2a,~AH=\frac{AD+BC}{2}=\frac{5a+a}{2}=3a
(см. задачу 1921). Из прямоугольных треугольников CDH
и ACH
находим, что
CH=\sqrt{CD^{2}-DH^{2}}=\sqrt{9a^{2}-4a^{2}}=a\sqrt{5},
AC=\sqrt{CH^{2}+AH^{2}}=\sqrt{5a^{2}+9a^{2}}=a\sqrt{14}.
По теореме косинусов
981\cos\angle ACD=\frac{CD^{2}+AC^{2}-AD^{2}}{2CD\cdot AD}=\frac{9a^{2}+14a^{2}-25a^{2}}{2CD\cdot AD}\lt0,
поэтому центр окружности, описанной около треугольника ACD
, а значит, и около трапеции ABCD
, лежит вне этого треугольника, а значит, и вне трапеции.
б) Пусть радиус окружности, описанной около данной трапеции, равен R
. Эта окружность описана около треугольника ACD
. Из прямоугольного треугольника CDH
находим, что
\sin\angle ADC=\frac{CH}{CD}=\frac{a\sqrt{5}}{3a}=\frac{\sqrt{5}}{3}.
По теореме синусов
R=\frac{AC}{2\sin\angle ADC}=\frac{a\sqrt{14}}{2\cdot\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{3a\sqrt{14}}{2\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{70}\cdot\sqrt{14}}{2\sqrt{5}}=21.