5635. В треугольнике ABC
с углом 120^{\circ}
при вершине A
проведены биссектрисы BB_{1}
и CC_{1}
, P
и Q
— основания перпендикуляров, опущенных из точки A
на прямые BB_{1}
и CC_{1}
.
а) Докажите, что \angle PAQ=30^{\circ}
.
б) Найдите площадь части треугольника ABC
, заключённой между лучами AP
и AQ
, если известно, что AP=6
, AQ=8
.
Ответ. 48.
Решение. а) Пусть O
— точка пересечения биссектрис BB_{1}
и CC_{1}
. Тогда
\angle B_{1}OC_{1}=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ}
(см. задачу 1101), поэтому \angle BOC_{1}=30^{\circ}
. Стороны острого угла PAQ
соответственно перпендикулярны сторонам острого угла BOC_{1}
, следовательно, \angle PAQ=30^{\circ}
.
б) Продолжим отрезки AP
и AQ
до пересечения с прямой BC
в точках M
и N
соответственно. Треугольник ABM
равнобедренный, так как его биссектриса BP
является высотой. Значит, P
— середина AM
. Аналогично Q
— середина AN
, поэтому PQ
— средняя линия треугольника AMN
. Значит, MN\parallel BC
. Треугольник MAN
подобен треугольнику PAQ
с коэффициентом 2, следовательно,
S_{\triangle MAN}=4S_{\triangle PAQ}=4\cdot\frac{1}{2}AP\cdot AQ\sin\angle PAQ=4\cdot\frac{1}{2}\cdot6\cdot8\cdot\frac{1}{2}=48.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 3.30.2, с. 30