5639. Диагонали AC
и BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
. Известно, что S_{\triangle AOB}^{2}=S_{\triangle BOC}\cdot S_{\triangle AOD}
.
а) Докажите, что BC\parallel AD
.
б) Найдите отношение \frac{BC}{AD}
, если площадь треугольника COD
составляет \frac{6}{25}
площади четырёхугольника ABCD
, а BC\lt AD
.
Ответ. 2:3
.
Решение. а) Из равенства S_{\triangle AOB}^{2}=S_{\triangle BOC}\cdot S_{\triangle AOD}
следует равенство \frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle AOD}}=\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle AOB}}
, а так как \frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle AOD}}=\frac{BO}{OD}
и \frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle AOB}}=\frac{CO}{OA}
(см. задачу 3000), то \frac{BO}{OD}=\frac{CO}{OA}
. Значит, треугольники BOC
и DOA
подобны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \angle OBC=\angle ODA
. Следовательно, BC\parallel AD
.
б) Обозначим S_{ABCD}=S
, \frac{BC}{AD}=k\lt1
. Тогда
S_{\triangle BCD}=\frac{k}{k+1}S,~S_{\triangle COD}=\frac{1}{k+1}S_{\triangle BCD}=\frac{k}{(k+1)^{2}}S,
значит,
\frac{k}{(k+1)^{2}}S=\frac{6}{25}S,~\frac{k}{(k+1)^{2}}=\frac{6}{25},~6k^{2}-13k+6=0.
Учитывая, что k\lt1
, из последнего уравнения находим, что k=\frac{2}{3}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 7.41.2, с. 73