5642. В окружности проведены два диаметра. В каждый из двух соседних получившихся секторов вписана окружность.
а) Докажите, что треугольник с вершинами в центрах трёх окружностей — прямоугольный.
б) Найдите отношение радиусов двух меньших окружностей, если угол между диаметрами равен 60^{\circ}
.
Ответ. \frac{3+2\sqrt{3}}{9}
.
Решение. а) Пусть AB
и CD
— диаметры окружности с центром O
, O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, вписанных в секторы AOC
и BOC
соответственно.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому OO_{1}
и OO_{2}
— биссектрисы смежных углов AOC
и BOC
. Значит, \angle O_{1}OO_{2}=90^{\circ}
(см. задачу 937). Следовательно, треугольник O_{1}OO_{2}
прямоугольный.
б) Пусть r_{1}
и r_{2}
— радиусы окружностей, с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно, E
и F
— точки касания этих окружностей с диаметром AB
, а M
и N
— с исходной окружностью радиуса R
. При этом \angle AOC=60^{\circ}
, а \angle BOC=120^{\circ}
.
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому точки O
, O_{1}
и M
лежат на одной прямой, и
OO_{1}=OM-O_{1}M=R-r_{1}.
Аналогично,
OO_{2}=ON-O_{2}N=R-r_{2}.
Из прямоугольных треугольников OO_{1}E
и OO_{2}F
получаем, что
OO_{1}=\frac{O_{1}E}{\sin30^{\circ}}=2r_{1},~OO_{2}=\frac{O_{1}F}{\sin60^{\circ}}=\frac{2r_{2}}{\sqrt{3}}.
Из уравнений R-r_{1}=2r_{1}
и R-r_{2}=\frac{2r_{2}}{\sqrt{3}}
находим, что
r_{1}=\frac{1}{3}R,~r_{2}=\frac{R\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}.
Следовательно,
\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{\frac{1}{3}R}{\frac{R\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}=\frac{3+2\sqrt{3}}{9}.