5646. Даны две равные окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
, пересекающиеся в точках P
и Q
. Отрезок O_{1}O_{2}
делится этими окружностями на три равные части. Лучи O_{1}P
и O_{1}Q
вторично пересекают окружность с центром O_{2}
в точках C
и D
соответственно.
а) Докажите, что отрезок O_{1}P
в четыре раза больше отрезка CP
.
б) В каком отношении отрезок O_{1}O_{2}
делится прямой CD
?
Ответ. 3:5
.
Решение. а) Пусть радиус окружностей равен 2a
, а линия центров O_{1}O_{2}
окружностей пересекает окружность с центром O_{2}
в точках A
и B
, причём точка A
лежит на отрезке O_{1}O_{2}
. Обозначим CP=x
. Тогда O_{1}P\cdot O_{1}C=O_{1}A\cdot O_{1}B
(см. задачу 2636), или 2a(2a+x)=a\cdot5a
. Отсюда находим, что a=2x
. Следовательно,
O_{1}P=2a=4x=4CP.
б) Пусть H
— точка пересечения CD
с прямой J_{1}O_{2}
. Окружность симметрична относительно любого своего диаметра (см. задачу 1677), поэтому точки C
и D
— симметричны относительно прямой O_{1}O_{2}
. Значит, CH
— высота треугольника O_{1}CO_{2}
со сторонами
O_{1}O_{2}=3a=6x,~O_{1}C=2a+x=5x,~O_{2}C=2a=4x.
Обозначим O_{2}H=t
. Тогда O_{1}H=O_{1}O_{2}-O_{2}H=6x-t
. По теореме Пифагора
CO_{2}^{2}-O_{2}H^{2}=CO_{1}^{2}-O_{1}H^{2},
или
16x^{2}-t^{2}=25x^{2}-(6x-t)^{2}.
Отсюда получаем, что O_{2}H=t=\frac{9}{4}x
. Тогда
O_{1}H=6x-\frac{9}{4}x=\frac{15}{4}x.
Следовательно,
\frac{O_{2}H}{O_{1}H}=\frac{\frac{9}{4}x}{\frac{15}{4}x}=\frac{3}{5}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 10.19.2, с. 104