5659. Точки L
и N
— середины оснований соответственно BC
и AD
трапеции ABCD
, а точки K
и M
— середины диагоналей AC
и BD
соответственно. Известно, что прямые AB
и CD
перпендикулярны.
а) Докажите, что LN=KM
.
б) Найдите высоту трапеции, если известно, что площадь четырёхугольника KLMN
равна 60, а разность оснований трапеции равна 26.
Ответ. \frac{120}{13}
.
Указание. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности (см. задачу 1226).
Решение. а) Поскольку KL
и MN
— средние линии треугольников ABC
и ABD
с общей стороной AB
, отрезки KL
и MN
равны и параллельны. Значит, KLMN
— параллелограмм, а так как KL\parallel AB
, LM\parallel CD
и AB\perp CD
, то KL\perp LM
, поэтому KLMN
— прямоугольник. Следовательно, его диагонали LN
и KM
равны.
б) Пусть AD-BC=26
. Тогда
KM=\frac{AD-BC}{2}=\frac{26}{2}=13
(см. задачу 1226).
Пусть высота трапеции ABCD
равна h
. Тогда высота треугольника KLM
, проведённая из его вершины L
, равна \frac{h}{2}
, а так как диагональ KM
прямоугольника KLMN
разбивает его на два равновеликих треугольника, то S_{\triangle KLM}=30
. Значит,
\frac{1}{2}KM\cdot\frac{h}{2}=30,~\frac{13}{4}h=30.
Отсюда находим, что h=\frac{120}{13}
.