5665. Вершины A
и D
четырёхугольника ABCD
соединены с серединой M
стороны BC
, а вершины B
и C
— с серединой N
стороны AD
. Точки E
, F
, G
, H
— середины отрезков AM
, CN
, DM
, BN
соответственно.
а) Докажите, что прямые EG
, FH
и MN
пересекаются в одной точке.
б) Найдите стороны четырёхугольника EFGH
, если известно, что BC=20
, AD=48
и BC\perp AD
.
Ответ. 13, 13, 13, 13.
Решение. а) Отрезок EG
— средняя линия треугольника AMD
, а MN
— медиана этого треугольника, поэтому точка O
пересечения EG
и MN
— середина MN
(см. задачу 1881). Аналогично точка пересечения FH
и MN
— середина MN
, т. е. точка O
. Следовательно, прямые EG
, FH
и MN
проходят через точку O
.
б) Отрезки EG
и FH
пересекаются в точке точке O
и делятся ею пополам (см. задачу 1881), поэтому EFGH
— параллелограмм, а так как EG\parallel AD
, FH\parallel BC
и BC\perp AD
, то SG\perp FH
, т. е. диагонали параллелограмма EFHG
перпендикулярны. Значит, это ромб. Диагональ EG
этого ромба — средняя линия треугольника AMD
, поэтому EG=\frac{1}{2}AD=24
. Аналогично FH=\frac{1}{2}BC=10
. Из прямоугольного треугольника EOF
находим, что
EF=\sqrt{OE^{2}+OF^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13.
Следовательно, FG=GH=EH=EF=13
.