5668. Точка O
— центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC
. На продолжении отрезка AO
за точку O
отмечена точка K
. Известно, что \angle BAC+\angle AKC=90^{\circ}
.
а) Докажите, что четырёхугольник OBKC
вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника OBKC
, если известно также, что \cos\angle BAC=\frac{3}{5}
и BC=48
.
Ответ. 25.
Решение. а) Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда \angle OKC=\angle AKC=90^{\circ}-\alpha
. Поскольку BOC
— центральный угол окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC
, а BAC
— вписанный, то \angle BOC=2\alpha
. Из равнобедренного треугольника BOC
находим, что \angle OBC=90^{\circ}-\alpha
.
Из точек B
и K
, лежащих по одну сторону от прямой OC
, отрезок OC
виден под одним и тем же углом 90^{\circ}-\alpha
. Значит, точки O
, B
, K
и C
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Следовательно, четырёхугольник OBKC
вписанный.
б) Поскольку \cos\alpha=\frac{3}{5}
, то \sin\alpha=\frac{4}{5}
, а так как OC
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, то по теореме синусов
OC=\frac{BC}{2\sin\angle BAC}=\frac{48}{2\cdot\sin\alpha}=\frac{24}{\frac{4}{5}}=30.
Пусть R
— искомый радиус описанной окружности четырёхугольника OBKC
. Применяя теорему синусов к треугольнику OCK
находим, что
R=\frac{OC}{2\sin\angle OKC}=\frac{OC}{2\sin(90^{\circ}-\alpha)}=\frac{OC}{2\cos\alpha}=\frac{30}{2\cdot\frac{3}{5}}=25.