5681. В равнобедренную трапецию ABCD
с основаниями AD
и BC
вписана окружность с центром O
, CH
— высота трапеции.
а) Докажите, что треугольник ABH
равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ACH
, если известно, что боковая сторона трапеции равна 2, \angle BOC=60^{\circ}
, а BC
— меньшее основание.
Ответ. \sqrt{3}
.
Решение. а) Поскольку в трапецию можно вписать окружность, сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, а так как трапеция равнобедренная, то боковая сторона равна полусумме оснований. Проекция AH
диагонали AC
равнобедренной трапеции на основание AD
также равна полусумме оснований (см. задачу 1921), следовательно, AB=AH
, т. е. треугольник ABH
равнобедренный.
б) Центр O
окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому BO
и CO
— биссектрисы равных углов при основании BC
равнобедренной трапеции. Значит, треугольник BOC
равнобедренный, а так как \angle BOC=60^{\circ}
, то этот треугольник равносторонний. Следовательно,
\angle BCD=2\angle BCO=120^{\circ},~\angle CDH=60^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника CDH
находим, что
CH=CD\sin60^{\circ}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
Следовательно,
S_{\triangle ACH}=\frac{1}{2}AH\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot2\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}.