5682. Прямая, параллельная основаниям BC
и AD
трапеции ABCD
, пересекает боковые стороны AB
и CD
в точках M
и N
, а диагонали AC
и BD
— в точках K
и L
соответственно, причём точка K
лежит между M
и L
.
а) Докажите, что ML=KN
.
б) Найдите MN
, если известно, что BC=2
, AD=3
и MK:KL:LN=3:1:3
.
Ответ. \frac{42}{17}
.
Решение. а) Треугольник AMK
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{AM}{AB}
, значит, MK=BC\cdot\frac{AM}{AB}
. Треугольник DNL
подобен треугольнику DCB
с коэффициентом \frac{DN}{DC}
, значит, NL=BC\cdot\frac{DN}{DC}
. По теореме о пропорциональных отрезках (см. задачу 1059) \frac{DN}{DC}=\frac{AM}{AB}
, Поэтому MK=NL
. Следовательно,
ML=MK+KL=NL+KL=KN.
б) Положим MK=LN=3t
, KL=t
. Треугольник AMK
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{MK}{BC}=\frac{3t}{2}
, значит, AM=AB\cdot\frac{3t}{2}
. Треугольник BML
подобен треугольнику BAD
с коэффициентом \frac{ML}{AD}=\frac{4t}{3}
, значит, BM=AB\cdot\frac{4t}{3}
. Тогда
AB=AM+BM=AB\cdot\frac{3t}{2}+AB\cdot\frac{4t}{3}=AB\cdot\frac{17}{6}t.
Отсюда находим, что t=\frac{6}{17}
. Следовательно,
MN=7t=\frac{42}{17}.