5691. Дана трапеция KLMN
с основаниями KN
и LM
. Окружности, построенные на боковых сторонах KL
и MN
как на диаметрах, пересекаются в точках A
и B
.
а) Докажите, что средняя линия трапеции лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB
.
б) Найдите AB
, если известно, боковые стороны трапеции равны 26 и 28, а средняя линия трапеции равна 15.
Ответ. 22,4.
Решение. а) Пусть C
и D
— центры окружностей с диаметрами KL
и MN
соответственно. Тогда C
и D
— середины боковых сторон трапеции, значит, CD
— средняя линия трапеции.
Линия центров CD
пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде и делит её пополам (см. задачу 1130), следовательно, CD
— серединный перпендикуляр к отрезку AB
.
б) Пусть H
— середина AB
. Тогда AH
— высота треугольника CAD
со сторонами
CD=15,~AC=\frac{1}{2}KL=13,~AD=\frac{1}{2}MN=14.
Пусть p
— полупериметр треугольника CAD
, S
— площадь треугольника. Тогда
p=\frac{13+14+15}{2}=21,~S=\sqrt{p(p-13)(p-14)(p-15)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84.
Значит,
AH=\frac{2S}{CD}=\frac{2\cdot84}{15}=\frac{2\cdot28}{5}=11{,}2.
Следовательно, AB=2AH=22{,}4
.