5725. Различные параллелограммы ABCD
и AKLD
расположены так, что их стороны BC
и KL
лежат на одной прямой, причём прямые AC
и KD
не параллельны. Докажите, что точка пересечения прямых AK
и DC
, точка пересечения прямых AB
и DL
, а также точка пересечения прямых AC
и KD
лежат на одной прямой.
Указание. Примените замечательное свойство трапеции: точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть прямые AK
и CD
пересекаются в точке P
, прямые AB
и DL
— в точке Q
, а прямые AC
и KD
— в точке T
.
По замечательному свойству трапеции (см. задачу 1513) прямая PT
, проведённая через точку P
пересечения диагоналей AK
и CD
трапеции ACKD
и точку T
пересечения продолжений боковых сторон AC
и DK
этой трапеции, проходит через середину E
основания CK
и середину F
основания AD
.
Прямая EF
, проведённая через середины E
и F
оснований BL
и AD
трапеции ABLD
, проходит через точку Q
пересечения продолжений боковых сторон AB
и DL
этой трапеции. Следовательно, точки P
, Q
и T
лежат на прямой EF
. Аналогично для остальных случаев.