5771. Окружности C_{1}
и C_{2}
внешне касаются в точке A
. Прямая l
касается окружности C_{1}
в точке B
, а окружности C_{2}
— в точке D
. Через точку A
проведены две прямые: одна проходит через точку B
и пересекает окружность C_{2}
в точке F
, а другая касается окружностей C_{1}
и C_{2}
и пересекает прямую l
в точке E
. Найдите радиусы окружностей C_{1}
и C_{2}
, если AF=3\sqrt{2}
, BE=\sqrt{5}
.
Ответ. \sqrt{\frac{10}{3}}
, \sqrt{\frac{15}{2}}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей C_{1}
и C_{2}
соответственно, R_{1}
и R_{2}
— радиусы этих окружностей. Поскольку BE=EA=ED
(как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки), треугольник BAD
— прямоугольный, \angle BAD=90^{\circ}
(см. задачу 1188), BD=2BE=2\sqrt{5}
.
В треугольнике DAF
угол DAF
— прямой, поэтому DF
— диаметр окружности C_{2}
. Отрезок DA
— высота прямоугольного треугольника BDF
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому BD^{2}=AB\cdot BF
, или 20=AB(AB+3\sqrt{2})
. Из этого уравнения находим, что AB=2\sqrt{2}
. Тогда
4R_{2}^{2}=DF^{2}=AF\cdot BF=AF(AF+AB)=3\sqrt{2}(3\sqrt{2}+2\sqrt{2})=30,
следовательно, R_{2}=\frac{\sqrt{30}}{2}=\sqrt{\frac{15}{2}}
.
Из подобия треугольников AO_{1}B
и AO_{2}F
находим, что
R_{1}=AO_{1}=AO_{2}\cdot\frac{AB}{AF}=R_{2}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{15}{2}}\cdot\frac{2}{3}=\sqrt{\frac{10}{3}}.