5883. На стороне AC
треугольника ABC
отмечена точка D
. Описанная окружность треугольника ABD
проходит через центр вписанной окружности треугольника BCD
. Найдите \angle ACB
, если известно, что \angle ABC=40^{\circ}
.
Ответ. 100^{\circ}
.
Указание. Если O
— центр вписанной окружности треугольника BCD
, то
\angle BOD=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BCD
(см. задачу 1101).
Решение. Пусть \omega
— описанная окружность треугольника ABD
, O
— центр вписанной окружности треугольника BCD
. Обозначим \angle ACB=\alpha
. Поскольку DO
и BO
— биссектрисы треугольника BCD
,
\angle BOD=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BCD=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 1101). Четырёхугольник ADOB
вписан в окружность \omega
, поэтому
\angle BAD=180^{\circ}-\angle BOD=180^{\circ}-90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Сумма углов треугольника ABC
равна 180^{\circ}
, поэтому
90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}+\alpha+40^{\circ}=180^{\circ}.
Отсюда находим, что \alpha=100^{\circ}
.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2013, первый тур, 10 класс