5891. На отрезке BD
взята точка C
. Биссектриса BL
равнобедренного треугольника ABC
с основанием BC
является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD
с основанием BD
.
а) Докажите, что треугольник DCL
равнобедренный.
б) Известно, что \cos\angle ABC=\frac{1}{3}
. В каком отношении прямая DL
делит сторону AB
?
Ответ. 9:16
.
Решение. а) Обозначим \angle ABL=\angle CBL=\alpha
. Тогда
\angle ACB=\angle ABC=2\alpha,~\angle BDL=\angle DBL=\alpha,
а так как ACB
— внешний угол треугольника DCL
, то
\angle DLC=\angle ACB-\angle CDL=2\alpha-\alpha=\alpha.
Значит, \angle DLC=\angle CDL
. Следовательно, треугольник DCL
равнобедренный.
б) Первый способ. Пусть AH
— высота равнобедренного треугольника ABC
. Тогда H
— середина BC
. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, поэтому \frac{CL}{AL}=\frac{CB}{AB}
, а так как
\frac{BH}{AB}=\cos\angle ABC=\cos2\alpha=\frac{1}{3},
то \frac{BC}{AB}=\frac{2BH}{AB}=\frac{2}{3}
. Значит, \frac{CL}{AL}=\frac{2}{3}
, поэтому AL=\frac{3}{5}AC=\frac{3}{5}AB
.
Пусть прямая DL
пересекает сторону AB
в точке M
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle AML=\angle AMD=\angle MBD+\angle MDB=2\alpha+\alpha=3\alpha.
Применив теорему синусов к треугольнику AML
, получим, что \frac{AM}{\sin\alpha}=\frac{AL}{\sin3\alpha}
, откуда
AM=\frac{AL\sin\alpha}{\sin3\alpha}=\frac{AL\sin\alpha}{\sin(\alpha+2\alpha)}=\frac{AL\sin\alpha}{\sin\alpha\cos2\alpha+\cos\alpha\sin2\alpha}=
=\frac{AL\sin\alpha}{\sin\alpha(\cos2\alpha+2\cos^{2}\alpha)}=\frac{AL}{\cos2\alpha+1+\cos2\alpha}=
=\frac{AL}{2\cos2\alpha+1}=\frac{AL}{2\cdot\frac{1}{3}+1}=\frac{3}{5}AL=\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}AB=\frac{9}{25}AB.
Значит, MB=AB-AM=\frac{16}{25}AB
. Следовательно, \frac{AM}{MB}=\frac{9}{16}
.
Второй способ. Положим BC=4x
. Тогда
CH=x,~AB=AC=3x,~AL=\frac{3}{5}AC=\frac{3}{5}\cdot3x=\frac{9}{5},~
CD=CL=\frac{2}{5}AC=\frac{2}{5}\cdot3x=\frac{6}{5}x,~BD=BC+CD=2x+\frac{6}{5}x=\frac{16}{5}x.
По теореме Менелая (см. задачу 1622) \frac{AM}{MB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CL}{AL}=1
, следовательно,
\frac{AM}{MB}=\frac{CD}{BD}\cdot\frac{AL}{CL}=\frac{\frac{6}{5}x}{\frac{16}{5}x}\cdot\frac{\frac{9}{5}x}{\frac{6}{5}x}=\frac{9}{16}.