5897. Высоты AA_{1}
и CC_{1}
остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
. Прямая, проходящая через точку H
параллельно прямой A_{1}C_{1}
, пересекает описанные окружности треугольников AHC_{1}
и CHA_{1}
в точках X
и Y
соответственно. Докажите, что точки X
и Y
равноудалены от середины отрезка BH
.
Указание. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков BH
и AC
, есть серединный перпендикуляр к отрезку XY
.
Решение. Пусть O
— середина отрезка BH
, M
— середина стороны AC
. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), поэтому OA_{1}=\frac{1}{2}BH=OC_{1}
и MA_{1}=\frac{1}{2}AC=MC_{1}
. Тогда OM
— серединный перпендикуляр к отрезку A_{1}C_{1}
, а так как XY\parallel A_{1}C_{1}
, то OM\perp XY
.
Точка X
лежит на окружности с диаметром AH
, поэтому AX\perp XY
. Аналогично CY\perp XY
. Прямые AX
, MO
и CY
перпендикулярны прямой XY
, значит, они параллельны, а так как M
— середина AC
, то по теореме Фалеса прямая OM
проходит через середину отрезка XY
, т. е. является его серединным перпендикуляром. Следовательно, точки X
и Y
равноудалены от точки O
.