5902. Дан треугольник ABC
со сторонами AB=14
, BC=8
и медианой BM=9
.
а) Докажите, что треугольник ABC
равнобедренный.
б) Найдите высоту треугольника ABC
, проведённую из вершины B
.
Ответ. \frac{24\sqrt{5}}{7}
.
Решение. а) На продолжении медианы BM
за точку M
отложим отрезок MD=BM
. Диагонали BD
и AC
четырёхугольника ABCD
делятся точкой пересечения M
пополам, значит, ABCD
— параллелограмм. Поэтому
CD=AB=14,~AD=BC=8,~BD=2BM=18.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон (см. задачу 4011), поэтому
AC^{2}=2AB^{2}+2BC^{2}-BD^{2}=2\cdot14^{2}+2\cdot8^{2}-18^{2}=
=2\cdot196+2\cdot64-324=196.
Значит, AC=14=AB
. Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный.
б) Пусть AH
и BP
— высоты треугольника ABC
. Поскольку треугольник равнобедренный, точка H
— середина основания BC
. Из прямоугольного треугольника ABH
находим, что
AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{196-16}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}.
Тогда
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH=4\cdot6\sqrt{5}=24\sqrt{5}.
С другой стороны,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BP=7BP.
Из равенства 7BP=24\sqrt{5}
находим, что BP=\frac{24\sqrt{5}}{7}
.