5909. Точки M
и N
— середины сторон соответственно AB
и CD
параллелограмма ABCD
.
а) Докажите, что прямые DM
и BN
делят диагональ AC
на три равные части.
б) Найдите площадь четырёхугольника, образованного пересечениями прямых BD
, BN
, AC
и CD
, если площадь параллелограмма ABCD
равна 36.
Ответ. 6.
Решение. а) Противоположные стороны BM
и DN
четырёхугольника BMDN
равны и параллельны, значит, BMDN
— параллелограмм, поэтому BN\parallel DM
.
Пусть отрезки BN
и DM
пересекают диагональ AC
в точках P
и Q
соответственно. По теореме Фалеса CP=PQ
и AQ=PQ
. Следовательно, CP=PQ=AQ
.
б) Пусть O
— точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
. Тогда
OP=OC-CP=OA-AQ=OQ,~OP=\frac{1}{2}PQ=\frac{1}{2}CP.
Поскольку O
— середина стороны BD
треугольника BCD
, отрезок CO
— медиана этого треугольника, а так как \frac{OP}{CP}=\frac{1}{2}
, то P
— точка пересечения медиан треугольника. Следовательно, (см. задачу 3013)
S_{DOPN}=S_{\triangle DOP}+S_{\triangle DNP}=\frac{1}{3}S_{\triangle BCD}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S_{ABCD}=\frac{1}{6}S_{ABCD}=\frac{1}{6}\cdot36=6.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6.28.2, с. 61