5911. Точка M
лежит на стороне BC
треугольника ABC
, причём CM:MB=1:2
. Биссектриса CK
перпендикулярна прямой AM
.
а) Докажите, что площадь треугольника ACK
втрое меньше площади треугольника BCK
.
б) В каком отношении прямая AM
делит биссектрису CK
?
Ответ. 2:1
, считая от вершины C
.
Решение. а) Пусть E
— точка пересечения AM
и CK
. Биссектриса CE
треугольника ACM
является его высотой, значит, треугольник ACM
равнобедренный, AC=CM
. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{AK}{KB}=\frac{AC}{CB}=\frac{CM}{CB}=\frac{1}{3}.
Значит (см. задачу 3000),
\frac{S_{\triangle ACK}}{S_{\triangle BCK}}=\frac{AK}{KB}=\frac{1}{3}.
Следовательно, S_{\triangle ACK}=\frac{1}{3}S_{\triangle BCK}
.
б) Положим AK=t
, BK=3t
. Через вершину C
проведём прямую, параллельную стороне AB
. Пусть эта прямая пересекается с прямой AM
в точке P
. Треугольник PMC
подобен треугольнику AMB
с коэффициентом \frac{CM}{MB}=\frac{1}{2}
, поэтому
CP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AK+KB)=\frac{1}{2}\cdot4t=2t.
Из подобия треугольников PEC
и AEB
находим, что
\frac{CE}{EK}=\frac{CP}{AK}=\frac{2t}{t}=2.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6.26.2, с. 60