5912. В параллелограмме ABCD
точка P
— середина стороны AB
, M
— точка пересечения отрезка DP
с диагональю AC
, а N
— точка пересечения отрезка CP
с диагональю BD
.
а) Докажите, что MN\parallel CD
.
б) Биссектриса угла ADP
пересекает диагональ AC
в точке Q
. Найдите отношение AQ:QM
, если известно, что AD:DP=1:3
.
Ответ. 1:2
.
Решение. а) Треугольник AMP
подобен треугольнику CMD
с коэффициентом \frac{AP}{CD}=\frac{AP}{AB}=\frac{1}{2}
, значит, \frac{PM}{MD}=\frac{1}{2}
. Аналогично, \frac{PN}{NC}=\frac{1}{2}
. Из равенства \frac{PM}{MD}=\frac{PN}{NC}
следует, что MN\parallel CD
.
б) Положим AD=a
, DP=3a
. Из подобия треугольников AMP
и CMD
следует, что DM=\frac{2}{3}DP=2a
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AQ}{QM}=\frac{AD}{DM}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}.