5913. Внутри окружности расположен выпуклый четырёхугольник, продолжения сторон которого пересекают её в точках A_{1}
, A_{2}
, B_{1}
, B_{2}
, C_{1}
, C_{2}
, D_{1}
и D_{2}
. Докажите, что если A_{1}B_{2}=B_{1}C_{2}=C_{1}D_{2}=D_{1}A_{2}
, то четырёхугольник, образованный прямыми A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
, C_{1}C_{2}
, D_{1}D_{2}
, можно вписать в окружность.
Решение. Пусть величины двух противоположных углов четырёхугольника, образованного прямыми A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
, C_{1}C_{2}
и D_{1}D_{2}
, равны \alpha
и \beta
. Нам достаточно показать, что \alpha+\beta=180^{\circ}
. Поскольку хорды A_{1}B_{2}
, B_{1}C_{2}
, C_{1}D_{2}
и D_{1}A_{2}
равны, равны и угловые величины дуг A_{1}D_{1}B_{2}
, B_{1}A_{1}C_{2}
, C_{1}B_{1}D_{2}
, D_{1}C_{1}A_{2}
, которые мы обозначим через \gamma
. Заметим, что
\smile B_{1}A_{1}C_{2}+\smile D_{1}C_{1}A_{2}-(\smile A_{2}B_{1}+\smile C_{2}D_{1})=360^{\circ}.
По теореме о величине угла с вершиной вне круга (см. задачу 27)
2\alpha=\smile A_{1}D_{1}B_{2}-\smile A_{2}B_{1}=\gamma-\smile A_{2}B_{1},
2\beta=\smile C_{1}B_{1}D_{2}-\smile C_{2}D_{1}=\gamma-\smile C_{2}D_{1}.
Сложив эти равенства, получим, что
2\alpha+2\beta=2\gamma-(\smile A_{2}B_{1}+\smile C_{2}D_{1})=
=2\gamma-(\smile B_{1}A_{1}C_{2}+\smile D_{1}C_{1}A_{2}-360^{\circ})=360^{\circ}.
Следовательно, \alpha+\beta=180^{\circ}
.