5914. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
проведена прямая, пересекающая стороны AB
и CD
в точках K
и M
соответственно, и прямая, пересекающая стороны BC
и AD
в точках L
и N
соответственно.
а) Докажите, что четырёхугольник KLMN
— параллелограмм.
б) Найдите отношение площадей параллелограммов KLMN
и ABCD
, если известно, что \frac{BK}{AK}=2
, BL:LC=2:3
Ответ. 8:15
.
Решение. а) Пусть O
— точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
. Треугольники AON
и COL
равны по стороне (OA=OC
) и прилежащим к ней углам, значит, ON=OL
. Аналогично OK=OM
. Диагонали LN
и KM
четырёхугольника KLMN
делятся точкой пересечения O
пополам, следовательно, KLMN
— параллелограмм.
б) Заметим, что
\frac{CM}{MD}=\frac{AK}{KB}=\frac{1}{2},~\frac{AN}{NA}=\frac{CL}{LB}=\frac{3}{2}.
Пусть S
и S_{1}
площади параллелограммов ABCD
и KLMN
соответственно. Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle KAN}=\frac{AK}{AB}\cdot\frac{AN}{AD}S_{\triangle ABD}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{1}{10}S.
Аналогично
S_{\triangle MCL}=\frac{1}{10}S,~S_{\triangle KBL}=S_{\triangle MDN}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{2}{15}S.
Значит,
S_{1}=S_{KLMN}=S-2\cdot\frac{1}{10}S-2\cdot\frac{2}{15}S=\frac{8}{15}S.
Следовательно,
\frac{S_{1}}{S}=\frac{8}{15}.