5915. На диагонали AC
параллелограмма ABCD
отмечены точки M
и N
, причём AM:MN:NC=1:2:1
. Прямые DM
и DN
пересекают стороны соответственно AB
и BC
в точках E
и F
.
а) Докажите, что EF\parallel AC
.
б) Найдите отношение площади пятиугольника BEMNF
к площади параллелограмма ABCD
.
Ответ. \frac{5}{12}
.
Решение. \frac{5}{12}
.
а) Пусть O
— точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда
OC=OA,~AM=CN=\frac{1}{4}AC,~MN=\frac{1}{2}AC,~ON=OM=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{4}AC,
значит, M
и N
— середины отрезков OA
и OC
соответственно. Треугольник CNF
подобен треугольнику AND
с коэффициентом
\frac{CN}{AN}=\frac{\frac{1}{4}AC}{\frac{3}{4}AC}=\frac{1}{3},
поэтому
\frac{CF}{BC}=\frac{CF}{AD}=\frac{1}{3},~\frac{BF}{BC}=\frac{2}{3}.
Аналогично \frac{BE}{BA}=\frac{2}{3}
. Значит, \frac{BE}{BA}=\frac{BF}{BC}
. Следовательно, EF\parallel AC
.
б) Пусть S_{ABCD}=S
и S_{BEMNF}=S_{1}
. Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle CNF}=\frac{CF}{CB}\cdot\frac{CN}{CA}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{1}{24}S.
Аналогично S_{\triangle AME}=\frac{1}{24}S
. Значит,
S_{1}=\frac{1}{2}S-2\cdot\frac{1}{24}S=\frac{5}{12}S.
Следовательно, \frac{S_{1}}{S}=\frac{5}{12}
.