5919. Общие внутренние касательные к двум окружностям пересекаются в точке O
. Одна из них касается окружностей в точках E
и G
, вторая — в точках F
и H
(точки F
и G
лежат на одной окружности), а \angle FOG=60^{\circ}
.
а) Докажите, что FH=EH+FG
.
б) Найдите площадь четырёхугольника EFGH
, если известно, что FG=5
, EH=3
.
Ответ. 16\sqrt{3}
.
Решение. а) Пусть прямые EG
и FH
пересекаются в точке A
. Тогда AE=AH
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки. Угол EAH
при вершине равнобедренного треугольника EAH
равен 60^{\circ}
, поэтому треугольник EAH
равносторонний. Значит, AH=EH
. Аналогично AF=FH
. Следовательно,
FH=AH+AF=EH+FG.
б) Поскольку
EG=FH=EH+FG=3+5=8,
а площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними (см. задачу 3018),
S_{EFGH}=\frac{1}{2}EG\cdot FH\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot8\cdot8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}.