5920. Окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются в точке A
внутренним образом. Прямая, проходящая через точку A
, вторично пересекает первую окружность в точке B
, а вторую — в точке C
.
а) Докажите, что O_{2}C\parallel O_{1}B
.
б) Найдите площадь треугольника BCO_{2}
, если радиусы окружностей равны 3 и 5 соответственно, а \angle ABO_{1}=15^{\circ}
.
Ответ. 2,5.
Указание. См. задачу 5523 (первый случай).
Решение. а) Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому точки A
, O_{1}
и O_{2}
лежат на одной прямой. Треугольники AO_{1}B
и AO_{2}C
равнобедренные с общим углом A
при основаниях, значит, \angle ACO_{2}=\angle ABO_{1}
. Следовательно, O_{2}C\parallel O_{1}B
.
б) Из равнобедренных треугольников AO_{1}B
и AO_{2}C
находим, что
AB=2O_{1}A\cos15^{\circ}=6\cos15^{\circ},~AC=2O_{2}A\cos15^{\circ}=10\cos15^{\circ},
поэтому
BC=AC-AB=10\cos15^{\circ}-6\cos15^{\circ}=4\cos15^{\circ}.
Следовательно,
S_{\triangle BCO_{2}}=\frac{1}{2}BC\cdot O_{2}B\sin15^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot4\cos15^{\circ}\cdot5\sin15^{\circ}=
=5\cdot2\sin15^{\circ}\cos15^{\circ}=5\sin30^{\circ}=\frac{5}{2}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 9.51.2, с. 95