5923. Две окружности пересекаются в точках A
и B
. Прямая, проходящая через точку A
, вторично пересекает эти окружности в точках C
и D
, причём точка A
лежит между C
и D
, а хорды AC
и AD
пропорциональны радиусам своих окружностей.
а) Докажите, что биссектрисы углов ADB
и ACB
пересекаются на отрезке AB
.
б) Найдите AB
, если известно, что радиус одной окружности вдвое больше радиуса другой, а хорды AC
и BC
меньшей окружности равны 3 и 5 соответственно.
Ответ. 4\sqrt{2}
.
Решение. а) См. задачу 2676.
б) Поскольку AC
и AD
пропорциональны радиусам окружностей, AD=2AC=6
. По доказанному в 2676, BA
— биссектриса угла CBD
, а по свойству биссектрисы треугольника
\frac{BD}{BC}=\frac{AD}{AC}=2,
значит, BD=2BC=10
. По формуле для квадрата биссектрисы треугольника (см. задачу 791)
AB^{2}=BD\cdot BC-AD\cdot AC=10\cdot5-6\cdot3=32.
Следовательно, AB=\sqrt{32}=4\sqrt{2}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 10.16.2, с. 103