5933. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
известно, что \cos\angle ABD=\cos\angle ACD
.
а) Докажите, что этот четырёхугольник вписанный.
б) Найдите площадь четырёхугольника, если известно, что \angle ACB=30^{\circ}
, BD=8
, AD=6
, а диагональ BD
проходит через середину диагонали AC
.
Ответ. 24.
Решение. а) Поскольку косинусы углов равны, а каждый из углов меньше 180^{\circ}
, то равны и сами углы. Из точек B
и C
, лежащих по одну сторону от прямой AD
, отрезок AD
под равными углами, значит, точки A
, B
, C
и D
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Следовательно, четырёхугольник ABCD
вписанный.
б) Вписанные углы ADB
и ACB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle ADB=\angle ACB=30^{\circ}.
Значит,
S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AD\cdot BD\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot8\cdot\frac{1}{2}=12.
Пусть M
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
. Поскольку M
— середина AC
, точки A
и C
равноудалены от прямой BD
, значит, треугольники ABD
и CBD
равновелики. Следовательно,
S_{ABCD}=2S_{\triangle ABD}=2\cdot12=24.