5934. В окружность вписана трапеция. Боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом.
а) Докажите, что высота трапеции равна её средней линии.
б) Найдите площадь трапеции, если известно, что радиус окружности равен 5, а тангенс угла при большем основании равен 3.
Ответ. 45.
Решение. а) Трапеция ABCD
с основаниями BC\lt AD
вписана в окружность с центром O
, причём \angle AOB=90^{\circ}
. Поскольку трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная, проекция DH
её диагонали BD
на основание AD
равна полусумме оснований, т. е. средней линии трапеции (см. задачу 1921). Вписанный угол ADB
равен половине центрального угла AOB
, т. е. \angle ADB=45^{\circ}
. Прямоугольный треугольник BDH
— равнобедренный, следовательно, BH=DH
.
б) Пусть R
— радиус окружности, \angle BAD=\alpha
, \tg\alpha=3
. Тогда
\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{10}},~\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}}.
По теореме синусов
AB=2R\sin\angle ADB=10\sin45^{\circ}=10\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}.
Из прямоугольного треугольника ABH
находим, что
BH=AB\sin\alpha=5\sqrt{2}\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}=3\sqrt{5}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=BH\cdot BH=BH^{2}=(3\sqrt{5})^{2}=45.