5937. Окружность с центром O_{1}
вписана в прямоугольную трапецию ABCD
с прямым углом при вершине A
. Окружность с центром O_{2}
касается большей боковой стороны CD
и продолжений оснований трапеции.
а) Докажите, что O_{1}CO_{2}D
— прямоугольник.
б) Найдите площадь этого прямоугольника, если точка касания M
вписанной в трапецию окружности делит меньшее основание на отрезки BM=6
и CM=4
.
Ответ. 78.
Решение. а) Пусть окружность с центром O_{2}
касается продолжения основания BC
в точке N
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому
\angle DCO_{2}=\frac{1}{2}\angle DCN=\frac{1}{2}\angle ADC=\angle CDO_{1}.
Значит, CO_{2}\parallel DO_{1}
. Аналогично DO_{2}\parallel CO_{1}
, следовательно, O_{1}CO_{2}D
— параллелограмм, а так как \angle CO_{1}D=90^{\circ}
(см. задачу 313), то это прямоугольник.
б) Пусть окружность с центром O_{1}
касается стороны AB
в точке E
. Тогда BEO_{1}M
— квадрат, поэтому O_{1}M=BM=6
, т. е. радиус обеих окружностей равен 6.
Пусть окружность с центром O_{1}
касается стороны CD
в точке P
. Тогда CP=CM=4
, а так как радиус O_{1}P
— высота прямоугольного треугольника CO_{1}D
, проведённая из вершины прямого угла, то
DP=\frac{O_{1}P^{2}}{CP}=\frac{36}{4}=9.
Тогда
CD=CP+DP=4+9=13.
Следовательно,
S_{O_{1}CO_{2}D}=2S_{\triangle CO_{1}D}=2\cdot\frac{1}{2}CD\cdot O_{1}P=13\cdot6=78.