5938. Окружность с центром O_{1}
вписана в равнобедренную трапецию ABCD
с основаниями BC
и AD
. Окружность с центром O_{2}
касается боковой стороны CD
и продолжений оснований трапеции.
а) Докажите, что O_{1}CO_{2}D
— прямоугольник.
б) Найдите площадь этого прямоугольника, если BC=6
и AD=24
.
Ответ. 90.
Решение. а) Пусть окружность с центром O_{2}
касается продолжения основания BC
в точке N
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому
\angle DCO_{2}=\frac{1}{2}\angle DCN=\frac{1}{2}\angle ADC=\angle CDO_{1}.
Значит, CO_{2}\parallel DO_{1}
. Аналогично DO_{2}\parallel CO_{1}
, следовательно, O_{1}CO_{2}D
— параллелограмм, а так как \angle CO_{1}D=90^{\circ}
(см. задачу 313), то это прямоугольник.
б) Поскольку трапеция равнобедренная, точки касания M
и K
первой окружности с основаниями соответственно BC
и AD
— середины оснований. Пусть окружность с центром O_{1}
касается стороны CD
в точке P
. Тогда радиус O_{1}P
— высота прямоугольного треугольника CO_{1}D
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
O_{1}P=\sqrt{CP\cdot DP}=\sqrt{CM\cdot DK}=\sqrt{3\cdot12}=6,
т. е. радиус обеих окружностей равен 6. Следовательно,
S_{O_{1}CO_{2}D}=2S_{\triangle CO_{1}D}=2\cdot\frac{1}{2}CD\cdot O_{1}P=
=(CP+DP)\cdot O_{1}P=(CM+DK)\cdot O_{1}P=(3+12)\cdot6=90.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 4.48.2, с. 50