5941. В треугольнике ABC
проведена биссектриса AM
. Прямая, проходящая через вершину B
перпендикулярно AM
, пересекает сторону AC
в точке N
; AB=6
, BC=5
, AC=9
.
а) Докажите, что биссектриса угла C
делит отрезок MN
пополам.
б) Пусть P
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
. Найдите отношение AP:PN
.
Ответ. 3.
Решение. а) По теореме о биссектрисе треугольника (см. задачу 1509)
\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3},
а так как BC=5
, то BM=2
и CM=3
.
В треугольнике BAN
биссектриса угла BAN
перпендикулярна стороне BN
, значит, этот треугольник равнобедренный. Поэтому AN=AB=6
, а
CN=AC-AN=9-6=3=CM.
В равнобедренном треугольнике CMN
биссектриса, проведённая из вершины C
, является медианой, следовательно, она делит основание MN
пополам.
б) CP
— биссектриса треугольника ACM
, поэтому
\frac{AP}{PM}=\frac{AC}{CM}=\frac{9}{3}=3.
Прямая CP
— серединный перпендикуляр к отрезку MN
, поэтому PN=PM
. Следовательно,
\frac{AP}{PN}=\frac{AP}{PM}=3.