5944. Биссектриса угла A
треугольника ABC
пересекает сторону BC
в точке K
, а окружность, описанную около треугольника ABC
, — в точке M
.
а) Докажите, что треугольник BMC
равнобедренный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KMC
, если известно, что AC=4
, BC=5
, AB=6
.
Ответ. \frac{4}{\sqrt{7}}
.
Решение. а) Вписанные углы BAM
и BCM
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle BCM=\angle BAM
. Аналогично \angle CBM=\angle CAM
, а так как \angle BAM=\angle CAM
, то \angle BCM=\angle CBM
. Следовательно, треугольник BCM
равнобедренный.
б) По теореме о биссектрисе треугольника (см. задачу 1509)
\frac{BK}{CK}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{4}=\frac{2}{3},
а так как BK+CK=BC=5
, то BK=3
и CK=2
.
Обозначим \angle ABC=\beta
. Вписанные углы AMC
и ABC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle KMC=\angle AMC=\angle ABC=\beta.
По теореме косинусов
\cos\beta=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{36+25-16}{2\cdot6\cdot5}=\frac{3}{4}.
Значит, \sin\beta=\frac{\sqrt{7}}{4}
.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника KMC
. По теореме синусов
R=\frac{CK}{2\sin\angle KMC}=\frac{2}{2\sin\beta}=\frac{4}{\sqrt{7}}.