5950. Из какой-либо отличной от ортоцентра треугольника точки плоскости опускаются перпендикуляры на его высоты (или на их продолжения). Докажите, что основания перпендикуляров являются вершинами треугольника, подобного исходному.
Указание. Примените метод вспомогательной окружности.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
, H
— ортоцентр треугольника, A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— проекции точки M
, отличной от H
, на прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
соответственно.
Из точек A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
отрезок MH
виден под прямым углом, значит, они лежат на окружности с диаметром MH
(см. задачу 1689). Вписанные в эту окружность углы B_{2}A_{2}C_{2}
и B_{2}HC_{2}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle B_{2}A_{2}C_{2}=\angle B_{2}HC_{2}=\angle B_{1}HC=\angle BAC.
Аналогично \angle A_{2}C_{2}B_{2}=\angle ACB
. Следовательно, треугольник A_{2}B_{2}C_{2}
подобен треугольнику ABC
.
Аналогично для любой точки M
, отличной от H
.
Примечание. Рассмотрения случаев можно избежать, рассматривая ориентированные углы.