5966. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон BC
, CA
, AB
в точках A'
, B'
, C'
соответственно. Прямые AA'
, BB'
и CC'
пересекаются в точке G
. Окружность, описанная около треугольника GA'B'
, вторично пересекает прямые AC
и BC
в точках C_{A}
и C_{B}
. Аналогично определяются точки A_{B}
, A_{C}
, B_{C}
, B_{A}
. Докажите, что точки A_{B}
, A_{C}
, B_{C}
, B_{A}
, C_{A}
, C_{B}
лежат на одной окружности.
Решение. Докажем, что указанные шесть точек равноудалены от центра I
вписанной в треугольник ABC
окружности.
Продолжения хорд B'C_{A}
и A'C_{B}
описанной окружности треугольника GA'B'
пересекаются в точке C
, поэтому B'C\cdot C_{A}C=A'C\cdot C_{B}C
(см. задачу 2636). Так как B'C=A'C
, то и C_{A}C=C_{B}C
. Значит, A'C_{B}C_{A}B'
— равнобедренная трапеция, и серединный перпендикуляр к её основанию C_{A}C_{B}
содержит биссектрису угла C
, т. е. проходит через точку I
.
Для секущих, проведённых из точки A
к той же окружности выполнено равенство AB'\cdot AC_{A}=AG\cdot AA'
. Аналогично AC'\cdot AB_{A}=AG\cdot AA'
. Так как AB'=AC'
, то и AC_{A}=AB_{A}
. Значит, серединный перпендикуляр к отрезку B_{A}C_{A}
содержит биссектрису угла A
, т. е. проходит через точку I
.
Итак, точка I
равноудалена от точек B_{A}
, C_{A}
, C_{B}
. Аналогично доказывается её равноудалённость от точек A_{B}
, C_{A}
, C_{B}
, и т. д.