5967. Дан правильный треугольник ABC
с центром O
. Прямая, проходящая через вершину C
, пересекает описанную окружность треугольника AOB
в точках D
и E
. Докажите, что точки A
, O
и середины отрезков BD
, BE
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть C'
— середина BC
, а E
лежит между C
и D
. Тогда середина E'
отрезка BE
лежит на средней линии C'D'
треугольника CBD
.
Поскольку \angle BAO=30^{\circ}=\angle BAC'
, вершина A
, центр O
и точка C'
также лежат на одной прямой. Угол ABC
равен половине дуги AOB
, поэтому BC
— касательная (см. задачу 1753). Тогда
C'E'\cdot C'D'=\frac{1}{2}CE\cdot\frac{1}{2}CD=\frac{1}{4}CE\cdot CD=\frac{1}{4}CB^{2}=C'B^{2}=C'O\cdot C'A.
Отсюда по теореме, обратной к теореме о произведении отрезков секущих, и следует вписанность четырёхугольника AOE'D'
(см. задачу 114).