5973. Дан прямоугольник ABCD
. Через точку B
провели две перпендикулярные прямые. Первая прямая пересекает сторону AD
в точке K
, вторая прямая пересекает продолжение стороны CD
в точке L
. Пусть F
— точка пересечения KL
и AC
. Докажите, что BF
перпендикулярно KL
.
Решение. Первый способ. Так как \angle ABK=\angle CBL
, прямоугольные треугольники ABK
и CBL
подобны, поэтому \frac{BK}{BL}=\frac{BC}{AB}
. Значит, треугольники ABC
и KBL
также подобны и \angle BKF=\angle BAF
. Следовательно, точки A
, B
, F
, K
лежат на одной окружности, а так как \angle BAK=90^{\circ}
, то BK
— диаметр этой окружности. Следовательно, \angle BFK=90^{\circ}
.
Второй способ. Из точек D
и B
отрезок KL
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром KL
. Точки A
и C
являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки B
, лежащей на описанной окружности треугольника KDL
, на прямые KD
и DL
. Значит, AC
— прямая Симсона треугольника KDL
(см. задачу 83). Следовательно, точка F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки B
на прямую KL
.
Автор: Садыков Р. Р.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2013-2014, XL, окружной этап, 10 класс