5976. Точки K
, L
, M
и N
на сторонах AB
, BC
, CD
и DA
квадрата ABCD
образуют ещё один квадрат. DK
пересекает NM
в точке E
, а KC
пересекает LM
в точке F
. Докажите, что EF\parallel AB
.
Решение. Обозначим точки пересечения прямых MN
и LM
с прямой AB
как P
и Q
соответственно. Треугольники AKN
, BLK
, CML
и DMN
равны по гипотенузе и острому углу. Пусть AK=a
и BK=b
. Тогда
BL=CM=DN=a,~CL=MD=NA=b.
Поскольку треугольники PKN
и QLK
прямоугольные, PA\cdot a=b^{2}
и BK\cdot b=a^{2}
(см. задачу 2728). Из подобия треугольников PEK
и DEM
получим, что
KE=DE=\frac{a+\frac{b^{2}}{a}}{b}=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab},
но из подобия треугольников QFK
и CFM
следует, что
FK=CF=\frac{b+\frac{a^{2}}{b}}{a}=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}.
Значит, \frac{KE}{DE}=\frac{FK}{CF}
и EF\parallel AB
, что и требовалось доказать.
Автор: Плотников М. В.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2014, X, заочный тур, № 11, 8-9 класс