5993. Три попарно непересекающиеся окружности \omega_{x}
, \omega_{y}
, \omega_{z}
радиусов r_{x}
, r_{y}
, r_{z}
лежат по одну сторону от прямой t
и касаются её в точках X
, Y
, Z
соответственно. Известно, что Y
— середина отрезка XZ
, r_{x}=r_{z}=r
, а r_{y}\gt r
. Пусть p
— одна из общих внутренних касательных к окружностям \omega_{x}
и \omega_{y}
, а q
— одна из общих внутренних касательных к окружностям \omega_{y}
и \omega_{z}
. В пересечении прямых p
, q
, t
образовался неравнобедренный треугольник. Докажите, что радиус вписанной в него окружности равен r
.
Решение. Обозначим вершины образовавшегося треугольника через A
, B
, C
, как показано на рисунке, а центры окружностей \omega_{x}
, \omega_{y}
и \omega_{z}
через I_{x}
, I_{y}
и I_{z}
.
Первый способ. Пусть q'
— вторая общая внутренняя касательная к \omega_{y}
и \omega_{z}
, а t'
— вторая их общая внешняя касательная. Обозначим через A'
и B'
точки пересечения прямой t'
с q
и t
, а через M
и N
— точки пересечения прямой q'
с t
и t'
.
Прямая p
при симметрии относительно прямой I_{y}Y
переходит в q'
(если бы она перешла в q
, то треугольник ABC
был бы равнобедренным). С другой стороны, прямые q
и q'
, а также t
и t'
симметричны относительно линии центров I_{y}I_{z}
. Значит, \angle B'A'C=\angle NMB'=\angle BAC
. Кроме того, углы ACB
и A'CB'
равны как вертикальные. Итак, треугольники ABC
и A'B'C
подобны по двум углам. \omega_{y}
— их общая вневписанная окружность, касающаяся соответственных сторон AC
и A'C
, значит, коэффициент их подобия равен 1. Поэтому радиусы их вписанных окружностей также равны.
Второй способ. Пусть \omega_{0}
— вписанная окружность треугольника ABC
, и её радиус r_{0}=\frac{r}{k}
. Обозначим через T
точку касания \omega_{0}
с прямой t
.
Обозначим x=AT
, z=CT=AC-x
. Как известно, AY=CT=z
(см. задачу 4805). Заметим, что x\ne z
(иначе треугольник ABC
равнобедренный).
Пусть I
— центр \omega_{0}
. Треугольники ITA
и I_{x}XA
подобны, поэтому
XA=\frac{I_{x}X}{IT}\cdot AT=\frac{r}{r_{0}}\cdot AT=kAT=kx.
Аналогично ZC=kz
, а так как
XA+AY=XY=ZY=ZC+CY,
то kx+z=kz+x
, откуда (kx-x)-(kz-z)=0
, или (k-1)(x-z)=0
. Следовательно, k=1
. Что и требовалось.
Автор: Кожевников П. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2012-2013, XXXIX, региональный этап, 11 класс