5997. Окружность с центром I
, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон BC
, CA
, AB
в точках A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
соответственно. Пусть I_{a}
, I_{b}
, I_{c}
— центры вневписанных окружностей треугольника ABC
, касающихся соответственно сторон BC
, CA
, AB
. Отрезки I_{a}B_{1}
и I_{b}A_{1}
пересекаются в точке C_{2}
. Аналогично, отрезки I_{b}C_{1}
и I_{c}B_{1}
пересекаются в точке A_{2}
, а отрезки I_{c}A_{1}
и I_{a}C_{1}
— в точке B_{2}
. Докажите, что I
является центром окружности, описанной около треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
.
Решение. Заметим, что точки A
, B
и C
лежат на отрезках I_{b}I_{c}
, I_{a}I_{c}
и I_{a}I_{b}
соответственно (см. задачу 4769).
Треугольники A_{1}C_{1}B_{2}
и I_{c}I_{a}B_{2}
подобны (A_{1}C_{1}\parallel I_{c}I_{a}
как перпендикуляры к биссектрисе угла B
). Аналогично, подобны треугольники A_{1}B_{1}C_{2}
и I_{b}I_{a}C_{2}
. Кроме того, если r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
, R
— радиус описанной окружности треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
, а \angle ABC=\beta
, то
A_{1}C_{1}=2r\cos\frac{\beta}{2},~I_{a}I_{c}=2R\sin\angle I_{a}I_{b}I_{c}=2R\sin\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)=2R\cos\frac{\beta}{2}.
Значит, \frac{I_{a}I_{c}}{A_{1}C_{1}}=\frac{R}{r}
. Аналогично \frac{I_{a}I_{b}}{A_{1}B_{1}}=\frac{R}{r}
. Отсюда
\frac{I_{a}B_{2}}{C_{1}B_{2}}=\frac{I_{a}I_{c}}{A_{1}C_{1}}=\frac{R}{r}=\frac{I_{a}I_{b}}{A_{1}B_{1}}=\frac{I_{a}C_{2}}{B_{1}C_{2}}.
Точки B_{1}
и C_{1}
симметричны относительно прямой AI_{a}
, а поскольку \frac{I_{a}B_{2}}{C_{1}B_{2}}=\frac{I_{a}C_{2}}{B_{1}C_{2}}
, точки B_{2}
и C_{2}
также симметричны относительно неё, и IB_{2}=IC_{2}
. Аналогично IA_{2}=IC_{2}
, что и требовалось доказать.