6008. На отрезке AE
по одну сторону от него построены равносторонние треугольники ABC
и CDE
; M
и P
— середины отрезков AD
и BE
. Докажите, что треугольник CPM
— равносторонний.
Указание. Рассмотрите образ отрезка BE
при повороте на 60^{\circ}
относительно точки C
, переводящем точку E
в точку D
.
Решение. Рассмотрим поворот на 60^{\circ}
относительно точки C
, переводящий точку E
в D
. При этом повороте точка B
переходит в точку A
. Следовательно, отрезок BE
переходит в отрезок EA
, а середина P
отрезка BE
— в середину M
отрезка AD
. Поэтому треугольник CPM
— равносторонний (см. задачу 6002).
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1946, IX, 1-й тур, 7-8 классы
Источник: Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. — М.: Просвещение, 1988. — № 2, с. 28
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 69, с. 187; № 76, с. 188
Источник: Дынкин Е. Б. и др. Математические задачи. — М.: Наука, 1966. — № 83, с. 18
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 18.9
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 18.10, с. 374
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — задача 2, с. 177