6016. Дан вписанный четырёхугольник, острый угол между диагоналями которого равен \varphi
. Докажите, что острый угол между диагоналями любого другого четырёхугольника с теми же длинами сторон меньше \varphi
.
Решение. Пусть диагонали произвольного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке P
, причём \angle APB=\alpha\leqslant90^{\circ}
. Обозначим PA=a
, PB=b
, PC=c
, PD=d
. По теореме косинусов
AB^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha,
BC^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(180^{\circ}-\alpha)=b^{2}+c^{2}+2bc\cos\alpha,
CD^{2}=c^{2}+d^{2}-2cd\cos\alpha,
AD^{2}=a^{2}+d^{2}-2ad\cos(180^{\circ}-\alpha)=a^{2}+d^{2}+2ad\cos\alpha.
Тогда
|AB^{2}-BC^{2}+CD^{2}-CA^{2}|=2(ab+bc+cd+da)\cos\alpha=
=2(a+c)(b+d)\cos\alpha=2AC\cdot BD\cos\alpha.
Отсюда
\cos\alpha=\frac{|AB^{2}-BC^{2}+CD^{2}-CA^{2}|}{2AC\cdot BD}\geqslant\cos\varphi~\Rightarrow~\alpha\leqslant\varphi,
так как по теореме Птолемея (см. задачу 130) AC\cdot BD\leqslant AB\cdot CD+BC\cdot AD
, причём равенство достигается только для вписанного четырёхугольника.