6028. На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны и перпендикулярны.
Указание. Рассмотрите композицию поворотов на угол 90^{\circ}
вокруг центров соседних квадратов.
Решение. Пусть P
, Q
, R
и S
— центры квадратов, построенных соответственно на сторонах AB
, BC
, CD
и AD
четырёхугольника ABCD
. Рассмотрим поворот на угол 90^{\circ}
вокруг точки Q
, переводящий вершину B
в вершину C
, и поворот на угол 90^{\circ}
вокруг точки R
, переводящий C
в D
. Композиция этих поворотов есть поворот на угол 180^{\circ}
(см. задачу 6710), т. е. центральная симметрия. Центр этой симметрии, точка O
, — середина отрезка BD
, так как при рассматриваемой композиции поворотов точка B
переходит в D
.
Если Q_{1}
— образ точки Q
при этой композиции, то отрезок QQ_{1}
проходит через точку O
и делится ею пополам. Поэтому RO
— высота равнобедренного прямоугольного треугольника QRQ_{1}
, и ROQ
— также равнобедренный прямоугольный треугольник.
Аналогично докажем, что SOP
— равнобедренный прямоугольный треугольник.
Следовательно, при повороте на угол 90^{\circ}
вокруг точки O
, переводящем точку Q
в точку R
, точка S
переходит в точку P
, а отрезок QS
— в отрезок RP
. Поэтому указанные отрезки равны и перпендикулярны.
