6032. С помощью циркуля и линейки постройте многоугольник с нечётным числом сторон, зная середины его сторон.
Указание. Композиция нечётного числа центральных симметрий есть центральная симметрия.
Решение. Предположим, что нужный многоугольник A_{1}A_{2}\ldots A_{2n-1}
построен. Пусть B_{1}
, B_{2}
, \ldots
, B_{2n-1}
— данные середины его сторон A_{1}A_{2}
, A_{2}A_{3}
, \ldots
, A_{2n-1}A_{1}
.
При композиции симметрий относительно точек B_{1}
, B_{2}
, \ldots
, B_{2n-1}
вершина A_{1}
переходит в себя. С другой стороны (см. задачу 6710), эта композиция представляет собой некоторую центральную симметрию (поворот на 180^{\circ}
). Следовательно, вершина A_{1}
(неподвижная точка) — центр этой симметрии.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим образ M_{1}
произвольной точки M
при композиции симметрий относительно данных точек B_{1}
, B_{2}
, \ldots
, B_{2n-1}
. Середина отрезка MM_{1}
есть вершина A_{1}
искомого многоугольника.
Аналогично находятся остальные вершины.
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — № 117, с. 106
Источник: Сивашинский И. Х. Неравенства в задачах. — М.: Наука, 1967. — № 16.21, с. 50
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 16.21, с. 355
Источник: Хорватские математические олимпиады. — 1999
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 8, задача 1 (1999, с. 394), с. 502